大家好，如果您还对为何正交矩阵一定可以对角化不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享为何正交矩阵一定可以对角化的知识，包括为什么酉矩阵的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！

本文目录

1. 什么是正交矩阵
2. 什么叫矩阵的酉等价
3. 正交矩阵几何意义
4. 为何正交矩阵一定可以对角化

什么是正交矩阵

正交矩阵的定义：ATA=AAT=E,满足这个条件的矩阵A是正交矩阵

(1)等式两边取行列式，得到A的行列式值是±1

(2)正交矩阵A的行向量组以及列向量组都是标准正交的向量组

对于正交矩阵，组成它的列向量构成了一个空间的基，称之为：规范正交基。而我们知道：对于一个空间而言，我们是可以找到很多个不同的基来表示的(参考相似矩阵的基底变换)

什么叫矩阵的酉等价

对于两个n阶复方阵A和B，如果存在一个n阶酉阵Q使得AQ=QB，那么称A和B酉等价（或者叫酉相似）

正交矩阵几何意义

正交矩阵实现的变换称为正交变换,酉矩阵实现的变换成为酉变换,它的好处是保持空间的几何度量不变,所以它们也称为刚体变换.比如一个元经过一个一般的满秩变换,它可能就变成椭圆,而经过正交变换或酉变换,它还是圆.

为何正交矩阵一定可以对角化

（小石头尝试着来回答这个问题）

非常遗憾，正交矩阵不一定可以对角化，为什么呢？

首先，我们知道，一个n阶方阵A可以对角化的充要条件是：

1.特征值有且仅有n个（可以重复）;

2.对于每个特征值λ?，设s?是它的重复数，则r(A-λ?E)=n-s；

方阵A的特征值是特征方程|A-λE|=0这个一元n次多项式方程的根。根据高等代数基本定理，一元n次多项式方程，在复数域C内必然有n个根（包括重根）。因此，只有保证条件2就可以保证复数方阵一定可以对角化。

然而，正交矩阵A定义为：

在实数域R上，如果n阶矩阵A满足AA?=E，即，A?1=A?，我们称A为正交矩阵。

这个定义说明，正交矩阵是实数域R上，于是就要求其特征值必须是实数。而，我们无法保证正交矩阵的特征方程的n个根一定都是实数。进而，也无法保证条件1，即，A一定有n个实数根，来构成对角化矩阵，于是也就无法保证A一定可以对角化。当然，更谈不上条件2了。

另一方面，n维向量空间R?上定义了内积后就称为欧氏空间，设

e?,e?,e?,...,e_n

是欧氏空间R?的一组基，又设，R?中向量a，b在这组基下的坐标分别是X和Y，则有：

(a,b)=X?GY

其中，

称为，度量矩阵。

当e?,e?,e?,...,e_n是标准单位正交基时，

G=E

这时，对于任意向量a，b以及正交矩阵A有：

(Aa,Ab)=(AX)?E(AY)=(AX)?(AY)=(X?A?)(AY)=X?(A?A)Y=X?EY=X?Y=(a,b)

即，得到性质：

(Aa,Ab)=(a,b)

如果，欧氏空间R?上的线性变换A也满足上面的性质，即，

(Aa,Ab)=(a,b)

我们就称A是正交变换。

由于，正交变换A，是定义在欧氏空间R?上的线性变换，因此，这就必然要求A在任何基下对应的矩阵是实数矩阵。所以这就，反过要求，A对应的正交矩阵A的对角线化矩阵必须是实数的。

最后，将正交矩阵扩展到复数域，就是酉矩阵。那么，酉矩阵一定可以对角化吗？

（小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师同学，批评指正！）

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